Urne d'Ehrenfest - avec N = 2 - Corrigé

Énoncé

On considère le modèle des urnes d'Ehrenfest avec 2 boules,

1. Combien peut-il y avoir de boules dans l'urne A ?

2. Tracer le graphe de la chaîne de Markov qui compte le nombre de boules dans l'urne A.

3. Donner la matrice de transition de ce graphe.

4. Quelle est la distribution initiale \(X_0\)  de cette chaîne de Markov ? 

5. Calculer  \(X_1, X_2, X_3, X_4\)

6. Y a-t-il une distribution invariante ? Si oui, la calculer. Le modèle converge-t-il vers cette distribution invariante ?

Solution

1. Dans l'urne A, il peut y avoir 0, 1 ou 2 boules.

2. On a donc la chaîne de Markov à trois états représentée par le graphe ci-dessous :

3. Sa matrice de transition est  \(T=\begin{pmatrix}0&1&0\\0,5&0&0,5\\0&1&0\end{pmatrix}\) .

4.  \(X_0=\begin{pmatrix}0&0&1\end{pmatrix}\)

5.  \(X_1=\begin{pmatrix}0&1&0\end{pmatrix}\)
\(X_2=\begin{pmatrix}0,5&0&0,5\end{pmatrix}\)
\(X_3=\begin{pmatrix}0&1&0\end{pmatrix}\)
\(X_4=\begin{pmatrix}0,5&0&0,5\end{pmatrix}\)

6. Il existe bien une distribution invariante, qui est  \(X =\begin{pmatrix}0,25&0,5&0,25\end{pmatrix}\) . Mais, d'après la question précédente, on peut facilement montrer par récurrence que, pour tout  \(p\in\mathbb{Z^*}\) , on a  \(X_{2p}=\begin{pmatrix}0,5&0&0,5\end{pmatrix}\)  et  \(X_{2p+1}=\begin{pmatrix}0&1&0\end{pmatrix}\) .
La suite des  \(X_n\)  ne se stabilise donc pas sur cette distribution invariante. Le système fluctue indéfiniment, alternant entre deux distributions selon la parité de l'instant considéré. 
On ne peut revenir à l'état initial que pour une durée paire.